Question

18．已知△ABC的面积为S，且$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CA}=S$．
（1）求tanA的值；
（2）若B=$\frac{π}{4}，c=6$，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）设出三角形的边长，利用三角形的面积以及向量的数量积，转化求解A的正切函数值．
（2）利用两角和与差的三角函数转化求解三角形的面积即可．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CA}=S$，设三角形的边长为：a，b，c，则：bccosA═$\frac{1}{2}$bcsinA，
可得tanA=2．
（2）由（1）可知A∈（0，$\frac{π}{2}$），则sinA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，B=$\frac{π}{4}，c=6$，
可得cosC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB═$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，…（10分）
b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{6×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{10}}{10}）^{2}}}$=2$\sqrt{5}$．
故S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×6×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=12．…（12分）

点评 本题考查向量的数量积以及正弦定理，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．