Question

6．有共同底边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 设有共同底边的等边三角形ABC和BCD的边长为2，取BC中点O，连结AO，BO，则OA，OB，OC两两垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出异面直线AB和CD所成角的余弦值．

解答 解：设有共同底边的等边三角形ABC和BCD的边长为2，
取BC中点O，连结AO，BO，则OA，OB，OC两两垂直，
以O为原点，建立如图所求的空间直角坐标系O-xyz，
则B（0，-1，0）A（0，0，$\sqrt{3}$），C（0，1，0），
D（$\sqrt{3}，0，0$），
$\overrightarrow{AB}$=（0，-1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CD}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），
设异面直线AB和CD所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{1}{\sqrt{4}•\sqrt{4}}$=$\frac{1}{4}$．
∴异面直线AB和CD所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．