Question

2．在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=5且|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=4，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A． 6
• B． $\frac{15}{2}$
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 设A、B、C所对边分别为a，b，c，由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=5且|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=4，得bccosA=5，a=4，结合余弦定理可得b²+c²，再由基本不等式可得bc最大值，即可求出△ABC面积的最大值．

解答 解：设A、B、C所对边分别为a，b，c，
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=5，|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=4，得bccosA=5，a=4，①
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{1}{2}$bc$•\sqrt{1-\frac{25}{{b}^{2}{c}^{2}}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{{b}^{2}{c}^{2}-25}$，
由余弦定理可得b²+c²-2bccosA=16，②
由①②消掉cosA得b²+c²=26，
∴bc≤$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2}$=13，当且仅当b=c=$\frac{13}{2}$时取等号，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{b}^{2}{c}^{2}-25}$≤6，
∴△ABC的面积的最大值为6．
故选：A．

点评 本题考查平面向量数量积的运算、三角形面积公式、基本不等式求最值等知识，综合性较强，属中档题．