Question

3．已知函数f（x）=ax+lnx．a∈R
（1）若函数f（x）在x∈（0，e]上的最大值为-3；求a的值；
（2）设g（x）=x²-2x+2，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再分类讨论，根据函数的单调性即可求出最值．
（2）对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），等价于f（x）_max＜g（x）_max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=a+$\frac{1}{x}$=$\frac{ax+1}{x}$，x＞0
①当a≥0时，f′（x）＞0，f′（x）在（0，e]上单调递增，f（x）=f（e）=ae+1=-3，$a=-\frac{4}{e}$（舍去），
②当a＜0f′（x）=0  时$x=-\frac{1}{a}$
ⅰ）当$0＜-\frac{1}{a}＜e$，即$a＜-\frac{1}{e}$时，f（x）在$（{0，-\frac{1}{a}}）$上单调递增，在$（{-\frac{1}{a}，e}）$上单调递减，最大值$f（-\frac{1}{a}）=-1-ln（-a）=-3$则a=-e²，
ⅱ）当$-\frac{1}{a}≥e$时，即$-\frac{1}{e}≤a＜0$时，f′（x）≥0  f（x）在（0，e]上单调递增，f（x）最大值f（e）=ae+1=-3，$a=-\frac{4}{e}$ （舍去），
综上：函数f（x）在x∈[0，e]上的最大值为-3时a=-e²，
（2）由已知，转化为f（x）_max＜g（x）_max，
因为g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[0，1]，
所以g（x）_max=2…（9分）
由（1）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．
当a＜0时，f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）上单调递增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减，
故f（x）的极大值即为最大值，f（-$\frac{1}{a}$）=-1+ln（-$\frac{1}{a}$）=-1-ln（-a），
所以2＞-1-ln（-a），解得a＜-e^-3，
故a的取值范围是（-∞，-e^-3）

点评 本题考查学生会利用导求函数的最值，会利用导数研究函数的单调性，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．