Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，以椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若圆O是以F₁、F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3}{2}$，求m²+k²的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，三角形周长l=2a+2c=6，即可求得a和c的值，b²=a²-c²，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由直线l与圆O相切，得$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=1+k²，将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，及向量数量积的坐标运算，x₁•x₂+y₁y₂=$\frac{7{m}^{2}-12{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，代入即可求得$\frac{-5-5{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{3}{2}$，即可求得m²，k²的值，即可求得m²+k²的值．

解答 解：（I）由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
则a=2c…（1分）
又三角形周长l=2a+2c=6，解得：a=2，c=1，
由b²=a²-c²=4-1=3，…（2分）
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；…（4分）
（II）由直线l与圆O相切，得$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=1+k²，…（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去，整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，…（6分）
由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$…（7分）
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
=k²•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+km（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$ ）+m²，
=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，…（8分）
x₁•x₂+y₁y₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{7{m}^{2}-12{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，…（9分）
因为m²=1+k²，
∴x₁•x₂+y₁y₂=$\frac{-5-5{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，…（10分）
又因为$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁y₂=-$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{-5-5{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{3}{2}$，解得：k²=$\frac{1}{2}$，…（11分）
m²=1+k²=$\frac{3}{2}$，
m²+k²=2，
∴m²+k²的值2．…（12分）

点评 本题考查椭圆椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．