Question

20．已知S_n为等比数列{a_n}的前n项和，且a₁=8，S₃+3a₄=S₅．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂（a_n•a_n+1），c_n=$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$，记数列{b_n}与{c_n}的前n项和分别为P_n，Q_n，求P_n与Q_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，由题意知S₃+3a₄=S₅，可得3a₄=S₅-S₃=a₄+a₅，化简利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得b_n=log₂（a_n•a_n+1）=2n+5，c_n=$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+5）（2n+7）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）$，分别利用等差数列的求和公式、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由题意知S₃+3a₄=S₅，可得3a₄=S₅-S₃=a₄+a₅，
可得2a₄=a₅，∴q=2．
∴a_n=8×2^n-1=2ⁿ⁺²．
（2）由（1）可得b_n=log₂（a_n•a_n+1）=n+2+n+3=2n+5，
c_n=$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+5）（2n+7）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）$，
P_n=$\frac{n（7+2n+5）}{2}$=n²+6n．
Q_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）+（\frac{1}{9}-\frac{1}{11}）$+…+$（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）]$
=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{7}-\frac{1}{2n+7}）$=$\frac{n}{14n+49}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等比数列的定义通项公式与求和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．