Question

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，|$\overrightarrow{AB}$|=2，cosB=$\frac{1}{3}$，则△DBC的面积为（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{13}{3}$

Answer 1

分析 利用平面向量的计算法则求得a的值；然后结合正弦定理来求△DBC的面积．

解答 解：∵$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
两边平方得$\frac{1}{4}$（4+2×2-$\frac{1}{3}$a+a²）=$\frac{17}{4}$，即3a²+4a-39=0，
解得a=-$\frac{13}{3}$（舍去）或a=3．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB=$\frac{1}{2}$×2×3×$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=2$\sqrt{2}$，
∴S_△DBC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题考查三角形的正弦定理和平面向量的加法运算的运用，考查运算能力，属于基础题．