Question

13．已知正项等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅．若存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，则$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 由a₇=a₆+2a₅求出公比q，正项等比数列$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁可得a_n•a_m=16a₁，利用等比中项的性质可得m，n的关系，“乘1法”与基本不等式的性质，即可求$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值．

解答 解：由{a_n}是正项等比数列，a₇=a₆+2a₅，
可得：q²=q+2，
解得：q=2或a=-1（舍去）
∵$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁
∴可得：a_n•a_m=16a₁=${q}^{4}•{{a}_{1}}^{2}=（{q}^{2}{a}_{1}）^{2}={{a}_{3}}^{2}$．
∴m+n=6．
则$\frac{m}{6}+\frac{n}{6}=1$，
那么：（$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$）（$\frac{m}{6}+\frac{n}{6}$）=$\frac{9m}{6n}+\frac{n}{6m}$+$\frac{1}{6}$$+\frac{9}{6}$$≥2\sqrt{\frac{9m}{6n}×\frac{n}{6m}}+\frac{5}{3}$=$\frac{8}{3}$
当且仅当3m=n时取等号．
故得$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了等比数列的性质的运用，变形计算能力以及“乘1法”与基本不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．