Question

1．甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：

甲 校	分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
	频数	3	4	8	15
	分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
	频数	15	x	3	2

乙 校	分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
	频数	1	2	8	9
	分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
	频数	10	10	y	3

（Ⅰ）计算x，y的值；
（Ⅱ）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；
（Ⅲ）根据以上统计数据完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异．

	甲校	乙校	总计
优秀
非优秀
总计

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频数与总数关系可得x，y的值，先求出从甲、乙校各抽取的人数，再减去已知人数即得；
（Ⅱ）即求频率，按对应人数除以总数即可；
（ III）按公式代入计算得k≈2.83＞2.706，对照临界值表可知在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两个学校的数学成绩有差异．

解答 解：（Ⅰ）甲校抽取110×$\frac{1200}{2200}$=60人，乙校抽取110×$\frac{1000}{2200}$=50人，…（2分）
故x=10，y=7，…（4分）
（Ⅱ）估计甲校优秀率为$\frac{15}{60}$=25%，
乙校优秀率为$\frac{20}{50}$=40%．…（6分）
（ III）表格填写如图，…（8分）

	甲校	乙校	总计
优秀	15	20	35
非优秀	45	30	75
总计	60	50	110

k²=$\frac{110（15×30-20×45）^{2}}{60×50×35×75}$≈2.83＞2.706…（10分）
又因为1-0.10=0.9，故有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．…（12分）

点评 本题主要考查独立性检验的应用，考查概率的计算，解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，属于中档题．