Question

11．已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，n∈N^*，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=$\frac{n}{2}$•a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列是一个各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，把这个式子分解，变为两个因式乘积的形式，（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，注意数列是一个正项数列，得到a_n+1-2a_n=0，得到数列是一个等比数列，写出通项；
（2）由b_n=$\frac{n}{2}$•a_n=$\frac{n}{2}$•2ⁿ=n•2^n-1，采用“错位相减法”即可求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）∵a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，则（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-2a_n=0，
即a_n+1=2a_n，所以数列{a_n}是以2为公比的等比数列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，
∴a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ．
（2）b_n=$\frac{n}{2}$•a_n=$\frac{n}{2}$•2ⁿ=n•2^n-1，
数列{b_n}的前n项和S_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，
=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n•2³，
∴两式相减得：-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ，
=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ，
=（1-n）•2ⁿ-1，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1，（n∈N*）．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．