Question

2．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-2．
（1）求f（x）的单调性；
（2）若方程y=f（x）有两个根x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：x₁+x₂＞2a．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；
（2）求出函数的导数，从而确定0＜x₁＜2a＜x₂，作f（2a-x₁）-f（x₂），利用换元法可证明f（2a-x₁）-f（x₂）＜0，从而可得2a-x₁＜x₂，从而得证．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{x2}$=$\frac{x-a}{x2}$，（x＞0）
所以当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…（5分）
（2）证明：若函数y=f（x）的两个零点为x₁，x₂（x₁＜x₂），由（1）可得0＜x₁＜a＜x₂．
令g（x）=f（x）-f（2a-x），（0＜x＜a）
则g′（x）=f′（x）+f′（2a-x）=（x-a）[$\frac{1}{x2}$-$\frac{1}{（2a-x）2}$]＜0，
所以g（x）在（0，a）上单调递减，g（x）＞g（a）=0，
即f（x）＞f（2a-x）．
令x=x₁＜a，则f（x₁）＞f（2a-x₁），所以f（x₂）=f（x₁）＞f（2a-x₁），
由（1）可得f（x）在（a，+∞）上单调递增，所以x₂＞2a-x₁，
故x₁+x₂＞2a．…（12分）

点评 考查了导函数的应用，难点是函数的构造，难度较大．