Question

1．（1）已知f（x）满足2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=3x，求f（x）的解析式．
（2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）构造方程组法，可得f（x）的解析式．
（2）已知f（x）是一次函数，利用待定系数法求解即可．

解答 解：（1）∵2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=3x，…①
把①中的x换成$\frac{1}{x}$，得2f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{3}{x}$，…②
①×2-②得3f（x）=6x-$\frac{3}{x}$，
∴f（x）=2x-$\frac{1}{x}$（x≠0）．
（2）f（x）是一次函数，设f（x）=ax+b（a≠0），
则3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b，
即ax+5a+b=2x+17不论x为何值都成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b+5a=17\end{array}$解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=7\end{array}$
∴f（x）的解析式f（x）=2x+7．

点评 本题考查了利用构造方程组法，待定系数法求解函数解析式的问题，比较基础．