Question

11．定义域在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_{\frac{1}{2}}}（{x+1}），0≤x＜1\\ 1-|{x-3}|，x≥1\end{array}$，则关于x的方程f（x）-a=0（0＜a＜1）所有根之和为1-$\sqrt{2}$，则实数a的值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象，从而可得x₁+x₂=-6，x₄+x₅=6，x₃=1-2^a，从而解得．

解答 解：由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象如下，

结合图象，
设函数F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的零点分别为
x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
则x₁+x₂=-6，x₄+x₅=6，
-log_0.5（-x₃+1）=a，
x₃=1-2^a，
故x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=-6+6+1-2^a=1-2^a，
∵关于x的方程f（x）-a=0（0＜a＜1）所有根之和为1-$\sqrt{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$．
故选B．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及函数的性质应用，属于中档题．