Question

20．如图，在平面直角坐标系中，已知圆O：x²+y²=4与直线l：x=4，A，B是圆O与x轴的交点，P是l上的动点．
（1）若从P到圆O的切线长为$2\sqrt{3}$，求点P的坐标；
（2）若直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点．

Answer 1

分析 （1）设点P的坐标为（4，a），设PD是圆O的切线，D是切点，则OD⊥PD．然后利用勾股定理列式求得a，则P的坐标可求；
（2）由题意知：A（-2，0），B（2，0），设P（4，a），求出直线PA方程，与圆的方程联立求得M坐标，同理求得N的坐标，然后分MN⊥x轴和MN与x轴不垂直分类求出MN所在直线方程，可得直线MN经过定点．

解答 （1）解：设点P的坐标为（4，a），设PD是圆O的切线，D是切点，则OD⊥PD．
在Rt△PDO中，PO²=PD²+OD²=12+4=16，
即16+a²=16，∴a=0，
故点P的坐标为（4，0）；
（2）证明：由题意知：A（-2，0），B（2，0），设P（4，a），直线PA方程为：$y=\frac{a}{6}（x+2）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=4\\ y=\frac{a}{6}（x+2）\end{array}\right.$，得（a²+36）x²+4a²x+4（a²-36）=0，
解得x=-2，$x=-\frac{{2（{a^2}-36）}}{{{a^2}+36}}$，∴$M（-\frac{{2（{a^2}-36）}}{{{a^2}+36}}，\frac{24a}{{{a^2}+36}}）$，
同理可求$N（\frac{{2（{a^2}-4）}}{{{a^2}+4}}，\frac{-8a}{{{a^2}+4}}）$．
①若MN⊥x轴，则$-\frac{{2（{a^2}-36）}}{{{a^2}+36}}=\frac{{2（{a^2}-4）}}{{{a^2}+4}}$，
解得a²=12，此时点M，N的横坐标都为1，直线MN过定点（1，0）；
②若MN与x轴不垂直，即a²≠12，此时${k_{MN}}=\frac{{\frac{-8a}{{{a^2}+4}}-\frac{24a}{{{a^2}+36}}}}{{\frac{{2（{a^2}-4）}}{{{a^2}+4}}+\frac{{2（{a^2}-36）}}{{{a^2}+36}}}}=\frac{-8a}{{{a^2}-12}}$，
∴直线MN的方程为：$y-\frac{-8a}{{{a^2}+4}}=\frac{-8a}{{{a^2}-12}}（x-\frac{{2（{a^2}-4）}}{{{a^2}+4}}）$，
即$y=\frac{-8a}{{{a^2}-12}}（x-1）$，直线MN过定点（1，0）．
综上，直线MN过定点（1，0）．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查直线恒过定点问题，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．