Question

15．设曲线C：y=-lnx（0＜x≤1）在M（e^-t，t）（t≥0）处的切线为l，若直线l与x轴及y轴所围成的三角形的面积为S（t），则S（t）的最大值是$\frac{2}{e}$．

Answer 1

分析 先求导数，可得切线斜率，进而可求切线方程；根据曲线C：y=-lnx（0＜x≤1）在点M（e^-t，t）（t≥0）处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t），表示出S（t），再用导数法求解单调区间和最值．

解答 解：∵y=-lnx（0＜x≤1）导数f′（x）=-$\frac{1}{x}$，
∴切线l的斜率为-e^t，
故切线l的方程为y-t=-e^t（x-e^-t），即e^tx+y-（t+1）=0，
令x=0得y=t+1，又令y=0得x=e^-t（t+1），
∴S（t）=$\frac{1}{2}$（1+t）•e^-t（t+1）=$\frac{1}{2}$（1+t）²•e^-t，
从而S′（t）=$\frac{1}{2}$•e^-t（1-t）（1+t）．
∵当t∈（0，1）时，S′（t）＞0，当t∈（1，+∞）时，S′（t）＜0，
∴S（t）的最大值为S（1）=$\frac{2}{e}$，即S（t）的最大值为$\frac{2}{e}$．
故答案为：$\frac{2}{e}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．