Question

9．已知斜率为3的直线l与双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，若点P（6，2）是AB的中点，则双曲线C的离心率等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则代入双曲线方程，相减可得-$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}=\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{b}^{2}}$，
∵点P（6，2）是AB的中点，
∴x₁+x₂=12，y₁+y₂=4，
∵直线l的斜率为3，∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=3，
∴a²=b²，c²=2a²，
∴e=$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率．