Question

15．（1）已知cos（α+β）=-$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{1}{5}$，求tanα•tanβ的值．（α≠kπ+$\frac{π}{2}$，β≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z）
（2）在锐角△ABC中，且sin（A+B）=$\frac{3}{5}$，tanA=2tanB，AB=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据两角和差的余弦公式即可得到$\left\{\begin{array}{l}{cosαcosβ-sinαsinβ=-\frac{3}{5}}\\{cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，从而可解出sinαsinβ和cosαcosβ的值，从而求出tanα•tanβ的值；
（2）根据条件可以求出$tan（A+B）=-\frac{3}{4}$，从而$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=-\frac{3}{4}$，结合tanA=2tanB即可求出$tanA=2+\sqrt{6}，tanB=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，这样设AB边上的高为CD，从而由$AB=\frac{CD}{tanA}+\frac{CD}{tanB}$及AB=3即可求出CD的值，从而得出△ABC的面积．

解答 解：（1）$cos（α+β）=-\frac{3}{5}$，$cos（α-β）=\frac{1}{5}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosαcosβ-sinαsinβ=-\frac{3}{5}}\\{cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinαsinβ=\frac{2}{5}}\\{cosαcosβ=-\frac{1}{5}}\end{array}\right.$；
∴tanαtanβ=-2；
（2）△ABC为锐角三角形；
∴$\frac{π}{2}＜A+B＜π$，$sin（A+B）=\frac{3}{5}$；
∴$cos（A+B）=-\frac{4}{5}$；
∴$tan（A+B）=-\frac{3}{4}$；
∴$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=-\frac{3}{4}$，且tanA=2tanB；
∴$\frac{2tanB+tanB}{1-2ta{n}^{2}B}=-\frac{3}{4}$，整理得：2tan²B-4tanB-1=0；
解得$tanB=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$或$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$（舍去），则$tanA=2+\sqrt{6}$，
如图，设AB边上的高为CD，则：
$AB=AD+DB=\frac{CD}{tanA}+\frac{CD}{tanB}=\frac{3CD}{2+\sqrt{6}}$，且AB=3；
∴$CD=2+\sqrt{6}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×（2+\sqrt{6}）=\frac{6+3\sqrt{6}}{2}$．

点评 考查两角和差的余弦和正切公式，弦化切公式，一元二次方程的解法，以及正切函数的定义，三角形面积公式．