Question

7．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=-1，f（$\frac{1}{m-1}$）＜$\frac{1}{m-1}$，其导函数f′（x）满足f′（x）＞m，且当x∈[-π，π]时，函数g（x）=-sin²x-（m+4）cosx+4有两个不相同的零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-8）
• B． （-∞，-8]∪（0，1）
• C． （-∞，-8]∪[0，1]
• D． （-8，1）

Answer 1

分析 设F（x）=f（x）-mx，求出导函数F′（x）=f′（x）-m，．通过f′（x）＞m，F′（x）＞0，判断F（x）在R上单调递增．转化$\frac{1}{m-1}＜0$，可得m＜1．又g（x）=-sin²x-（m+4）cosx+4=0，利用设cosx=t，t∈[-1，1]，问题等价于关于t的方程h（t）=t²-（m+4）t+3=0在t∈[-1，1]上有唯一解．通过当-1＜$\frac{m+4}{2}$＜1时，当$\frac{m+4}{2}≤-1$或$\frac{m+4}{2}≥1$时，分别求解即可．

解答 解：设F（x）=f（x）-mx，得F′（x）=f′（x）-m，．∵f′（x）＞m，F′（x）＞0，∴F（x）在R上单调递增．
∵f（0）=-1，∴F（0）=-1，∴f（$\frac{1}{m-1}$）$＜\frac{1}{m-1}$，可得f（$\frac{1}{m-1}$）-$\frac{1}{m-1}$＜-1，
即F（$\frac{1}{m-1}$）＜F（0），可得$\frac{1}{m-1}＜0$，解答m＜1．
又g（x）=-sin²x-（m+4）cosx+4=0，可得cos²x-（m+4）cosx+3=0，
设cosx=t，t∈[-1，1]，问题等价于关于t的方程h（t）=t²-（m+4）t+3=0在t∈[-1，1]上有唯一解．当-1＜$\frac{m+4}{2}$＜1时，须△=0即m=-4$±2\sqrt{3}$，矛盾；当$\frac{m+4}{2}≤-1$或$\frac{m+4}{2}≥1$时，须h（-1）h（1）＜0或h（-1）=0，即m≤-8或m＞0．（或：m=t+$\frac{3}{t}$-4，t∈[-1，1]有唯一解，得m＞0或m≤-8．）综上，1＞m＞0或m≤-8．
故选：B．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及构造法，换元法的应用，考查转化思想以及计算能力．