Question

4．国庆期间，我校高三（1）班举行了社会主义核心价值观知识竞赛，某轮比赛中，要求参赛者回答全部5道题，每一道题回答正确记1分，否则记-1分．据以往统计，甲同学能答对每一道题的概率均为$\frac{2}{3}$．甲同学全部回答完这5道题后记他的得分为X
（1）求X=1的概率；
（2）记随机变量Y=|X|，求Y的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由题意利用n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出X=1的概率．
（2）记随机变量Y=|X|，则Y的取值为1，3，5，分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由题意知X=1的概率P=${C}_{5}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{80}{243}$．
（2）记随机变量Y=|X|，则Y的取值为1，3，5，
P（Y=1）=${C}_{5}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{1}{3}）^{2}$+${C}_{5}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{40}{81}$，
P（Y=3）=${C}_{5}^{4}（\frac{2}{3}）^{4}（\frac{1}{3}）+{C}_{5}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{30}{81}$，
P（Y=5）=$\frac{11}{81}$，
Y的分布列为：

Y	1	3	5
p	$\frac{40}{81}$	$\frac{30}{81}$	$\frac{11}{81}$

EY=$1×\frac{40}{81}+3×\frac{30}{81}+5×\frac{11}{81}$=$\frac{185}{81}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．