Question

20．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₅=25，a₇=13，数列{b_n}的前n项和为T_n，T_n=2b_n-1．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=$\frac{a_n}{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和Q_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由S₅=25，a₇=13，列出方程组求出a₁和d的值；数列{b_n}的前n项和为T_n，T_n=2b_n-1，利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（2）c_n=a_nb_n=（2n-1）•2^n-1，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₅=25，a₇=13，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{5a}_{1}+\frac{5×4}{2}×d=25}\\{{a}_{1}+6d=13}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
∵数列{b_n}的前n项和为T_n，
T_n=2b_n-1，
∴当n=1时，b₁=2b₁-1，解得b₁=1，
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=2b_n-1-（2b_n-1-1）=2b_n-2b_n-1，
化为b_n=2b_n-1，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为1，公比为2，
∴b_n=2^n-1；
（2）c_n=a_nb_n=（2n-1）•2^n-1；
∴数列{c_n}的前n项和Q_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，
2Q_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
∴-Q_n=1+2×2+2×2²+…+2×2^n-1-（2n-1）×2ⁿ
=$\frac{2{（2}^{n}-1）}{2-1}$-1-（2n-1）×2ⁿ
=（3-2n）×2ⁿ-3，
∴Q_n=（2n-3）×2ⁿ+3．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．