Question

10．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且满足$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OC}$=（　　）

• A． -$\frac{15}{16}$
• B． -$\frac{7}{16}$
• C． $\frac{7}{16}$
• D． $\frac{15}{16}$

Answer 1

分析 先将一个向量用其余两个向量表示出来，然后借助于平方使其出现向量模的平方，则才好用上外接圆半径，然后进一步分析结论，容易化简出要求的结果．

解答 解：由$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，得2$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$-\overrightarrow{OA}$，
两边平方得$（2\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}）^{2}={\overrightarrow{OA}}^{2}$，即$4{\overrightarrow{OB}}^{2}+16\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+16{\overrightarrow{OC}}^{2}={\overrightarrow{OA}}^{2}$，
得$4+16+16\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=1$，∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=-\frac{19}{16}$；
由$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，得$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OB}$，
两边平方得$（\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OC}）^{2}=4{\overrightarrow{OB}}^{2}$，即${\overrightarrow{OA}}^{2}+8\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}+16{\overrightarrow{OC}}^{2}=4{\overrightarrow{OB}}^{2}$，
得$1+8\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}+16=4$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=-\frac{13}{8}$．
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OC}$=$（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=$-\frac{19}{16}+\frac{13}{8}=\frac{7}{16}$．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法，是中档题．