Question

2．已知等差数列{a_n}（n∈N*）的前n项和为S_n，且a₃=5，S₃=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设等比数列{b_n}（n∈N*），{b_n}的前n项和为T_n，若q＞0且b₃=a₅，T₃=13，求T_n；
（3）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₃=5，S₃=9联立方程求出数列的首项和公差，然后求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据T₃=13，b₃=a₅，求出公比和首项，求出T_n即可；
（3）求出a_n和b_n，从而求出S_n即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{a_3}={a_1}+2d=5\\{S_3}=3{a_1}+\frac{3×2}{2}d=9\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
（2）由上可得，b₃=a₅=9，T₃=13，所以公比q=3，
从而，b₁=1，
所以${T_n}=\frac{{{b_1}（1-{q^n}）}}{1-q}$=$\frac{{1×（1-{3^n}）}}{1-3}=\frac{1}{2}（{3^n}-1）$．
（3）由（1）知，a_n=2n-1．
∴${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}[{（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）}]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式以及前n项和公式，要求熟练掌握相应的公式．