Question

17．已知a＞0，函数f（x）=ax²-2ax+2lnx，g（x）=f（x）-2x．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论g（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）通过a=1，化简f（x），求出函数的导数，利用导数求解切线的斜率，得到切线方程．
（2）q求出函数g（x）的导数，通过①当0＜a＜1时，②当a＞1时，③当a=1时，通过导函数的符号，求解函数g（x）的单调递增区间，单调递减区间即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-2x+2lnx，$f'（x）=2x-2+\frac{2}{x}=\frac{{2（{x^2}-x+1）}}{x}$
设切线方程为y-f（1）=k（x-1），
∵k=f'（1）=2，f（1）=-1，
代入切线方程，化简得：y=2x-3…（5分）
（2）g（x）=f（x）-2x=ax²-2（a+1）x+2lnx$g'（x）=2ax-2（a+1）+\frac{2}{x}=\frac{{2a{x^2}-2（a+1）x+2}}{x}=\frac{{2a（x-1）（x-\frac{1}{a}）}}{x}$，（x＞0）
∵x＞0，a＞0，由$（x-1）（x-\frac{1}{a}）=0$$⇒{x_1}=\frac{1}{a}，{x_2}=1$，
①当0＜a＜1时，$\frac{1}{a}＞1$
在区间$（0，1），（\frac{1}{a}，+∞）$上g'（x）＞0，在区间$（1，\frac{1}{a}）$上g'（x）＜0
∴函数g（x）的单调递增区间是$（0，1），（\frac{1}{a}，+∞）$，
单调递减区间是$（1，\frac{1}{a}）$
②当a＞1时，$0＜\frac{1}{a}＜1$，在区间$（0，\frac{1}{a}），（1，+∞）$上g'（x）＞0，在区间$（\frac{1}{a}，1）$上g'（x）＜0
∴函数g（x）的单调递增区间是$（0，\frac{1}{a}），（1，+∞）$，
单调递减区间是$（\frac{1}{a}，1）$
③当a=1时，g'（x）≥0恒成立，
故函数g（x）的单调递增区间是（0，+∞），没有单调递减区间…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及单调性的判断与应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，难度比较大．