Question

9．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{-2x}{x+1}，x∈[0，1）\\ 1-|x-3|，x∈[1，+∞）\end{array}\right.$则函数$F（x）=f（x）-\frac{1}{π}$的所有零点之和为$\frac{1}{1-2π}$．

Answer 1

分析 求出x＜0时，函数f（x）的解析式，画出R上的图象，构造f（x）与y=$\frac{1}{π}$交点问题，利用对称性求解，注意确定交点坐标求解．

解答 解：∵定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{-2x}{x+1}，x∈[0，1）\\ 1-|x-3|，x∈[1，+∞）\end{array}\right.$，
∴x＜0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-2x}{1-x}，x∈（-1，0]}\\{|x+3|-1，x∈（-∞，-1]}\end{array}\right.$画出图象：
∵函数F（x）=f（x）-$\frac{1}{π}$，
∴f（x）与y=$\frac{1}{π}$交点的横坐标，
根据图象可设交点的横坐标从左到右为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，

根据图象的对性可知；x₁+x₂=-6，x₄+x₅=6，
∴x₁+x₂=x₃=x₄=x₅=x₃，
∵$\frac{-2x}{1-x}$=$\frac{1}{π}$，x=$\frac{1}{1-2π}$，
故函数F（x）=f（x）-$\frac{1}{π}$的所有零点之和为：$\frac{1}{1-2π}$．
故答案为：$\frac{1}{1-2π}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性，图象的对称性，函数的零点与构造函数交点的问题，属于中档题，关键是确定函数解析式，画图象．考查数形结合转化思想应用．