Question

4．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，|PF|=4．
（1）求抛物线的方程；
（2）直线l交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，且△OAB的重心为 $（\frac{4}{3}，\frac{4}{3}）$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设P（x₀，4），通过|PF|=4，结合抛物线的定义，解得p=4，从而抛物线的方程．
（2）设直线l的方程为x=ty+m，代入y²=8x利用韦达定理以及三角形的重心坐标，求出t，m即可求直线方程．

解答 解：（1）设P（x₀，4），因为|PF|=4，由抛物线的定义得${x_0}+\frac{p}{2}=4$，又4²=2px₀，
因此$\frac{8}{p}+\frac{p}{2}=4$，解得p=4，从而抛物线的方程为y²=8x．
（2）设直线l的方程为x=ty+m，代入y²=8x得y²-8ty-8m=0，△OAB的重心为 $（\frac{4}{3}，\frac{4}{3}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=t（{y_1}+{y_2}）+2m=4\\{y_1}+{y_2}=8t=4\end{array}\right.⇒t=\frac{1}{2}，m=1$，∴$x=\frac{1}{2}y+1$
即所求直线方程为：2x-y-2=0．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．