Question

16．设全集是实数集R，A={x|$\frac{1}{2}$≤x≤3}，B={x||x|+a＜0}．
（1）当a=-4时，求A∩B和A∪B；
（2）若（∁_RA）∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简a=-4时集合B，再写出A∩B与A∪B；
（2）求出A的补集∁_RA，再根据（∁_R A）∩B=B得出B⊆∁_RA；讨论B=∅和B≠∅时，求出a的取值范围．

解答 解：（1）全集是实数集R，集合A={x|$\frac{1}{2}$≤x≤3}，
当a=-4时，B={x||x|＜4}={x|-4＜x＜4}，
A∩B={x|$\frac{1}{2}$≤x≤3}，
A∪B={x|-4＜x＜4}；
（2）∁_RA={x|x＜$\frac{1}{2}$或x＞3}，
且（∁_R A）∩B=B，
∴B⊆∁_RA；
当B=∅时，即a≥0，满足B⊆∁_R；
当B≠∅，即a＜0，B={x|a＜x＜-a}；
要使B⊆∁_RA，只需-a≤$\frac{1}{2}$，
解得-$\frac{1}{2}$≤a＜0；
综上，实数a的取值范围是{a|a≥-$\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．