Question

11．已知△ABC为锐角三角形，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，其中 c=2，acosB+bcosA=$\frac{\sqrt{3}c}{2sinC}$，则△ABC周长的取值范围为（4，6]．

Answer 1

分析 利用正弦定理求出C，求出三角形的外接圆的半径，然后利用两角和的正弦函数公式以及正弦定理求出a+b+c的取值范围．

解答 解：由acosB+bcosA=$\frac{\sqrt{3}c}{2sinC}$，得sinAcosB+sinBcosA=$\frac{\sqrt{3}sinC}{2sinC}$，
即sin（A+B）=sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因为角C是锐角，
所以C=$\frac{π}{3}$，
所以A+B=$\frac{2π}{3}$，2R=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以三角形周长l=a+b+c=2R（sinA+sinB+sinC）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）+sin$\frac{π}{3}$）=4sin（A+$\frac{π}{6}$）+2，
又因为 0＜A＜$\frac{π}{2}$，
所以：A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
所以：sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
所以：周长l=a+b+c=4sin（A+$\frac{π}{6}$）+2∈（4，6]．
故答案为：（4，6]．

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查三角形的解法，考查了转化思想，属于基础题．