Question

20．已知函数f（x）=sin（$\frac{5π}{6}$-2x）-2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{3π}{4}$）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，且F（x）=-4λf（x）-cos（4x-$\frac{π}{3}$）的最小值是-$\frac{3}{2}$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）先利用两角和余差和二倍角等基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]时，化解F（x），求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小值，可得实数λ的值．

解答 解：函数f（x）=sin（$\frac{5π}{6}$-2x）-2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{3π}{4}$）．
化简可得：f（x）=sin$\frac{5π}{6}$cos2x-cos$\frac{5π}{6}$sin2x-2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（π-$\frac{π}{4}$+x）
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin（2x-$\frac{π}{2}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
（1）函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，
∵2x-$\frac{π}{6}$∈[$2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]，k∈Z单调递增区间；即$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，
解得：$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$kπ+\frac{π}{3}$，
∴函数f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）由F（x）=-4λf（x）-cos（4x-$\frac{π}{3}$）
=-4λsin（2x-$\frac{π}{6}$）-cos（4x-$\frac{π}{3}$）
=-4λsin（2x-$\frac{π}{6}$）-1+2sin²（2x-$\frac{π}{6}$）
令t=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{π}{2}$]
∴0≤t≤1
那么F（x）转化为g（t）=-4λt+2t²-1，
其对称轴t=λ，开口向上，
当t=λ时，取得最小值为$-\frac{3}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{g（λ）=-\frac{3}{2}}\\{0≤λ≤1}\end{array}\right.$，
解得：λ=$\frac{1}{4}$．
故得实数λ的值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．