Question

1．已知函数y=f（x）（x＞0）满足：f（xy）=f（x）+f（y），当x＜1时，f（x）＞0，且$f（{\frac{1}{2}}）=1$；
（1）证明：y=f（x）是定义域上的减函数；
（2）解不等式$f（{x-3}）＞f（{\frac{1}{x}}）-2$．

Answer 1

分析 （1）应用单调性的定义证明，注意取值，作差，变形和运用已知条件，定符号，下结论；
（2）由$f（{\frac{1}{2}}）=1$，可得f（$\frac{1}{4}$）=2，原不等式即为即$f（{x-3}）+f（{\frac{1}{4}}）＞f（{\frac{1}{x}}）$，即有$f（{\frac{x-3}{4}}）＞f（{\frac{1}{x}}）$，由y=f（x）是（0，+∞）上的减函数，可得0＜$\frac{x-3}{4}＜\frac{1}{x}$，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：（1）证明：设0＜x₁＜x₂，则$0＜\frac{x_1}{x_2}＜1$，
由题意当x＜1时，f（x）＞0，
可得$f（{x_1}）-f（{x_2}）=f（{\frac{x_1}{x_2}•{x_2}}）-f（{x_2}）=f（{\frac{x_1}{x_2}}）+f（{x_2}）-f（{x_2}）=f（{\frac{x_1}{x_2}}）＞0$，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以y=f（x）是（0，+∞）上的减函数；
（2）由$f（{\frac{1}{2}}）=1$，则$f（{\frac{1}{4}}）=f（{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}）=f（{\frac{1}{2}}）+f（{\frac{1}{2}}）=1+1=2$，
由$f（{x-3}）＞f（{\frac{1}{x}}）-2$得$f（{x-3}）+2＞f（{\frac{1}{x}}）$，
即$f（{x-3}）+f（{\frac{1}{4}}）＞f（{\frac{1}{x}}）$，即有$f（{\frac{x-3}{4}}）＞f（{\frac{1}{x}}）$，
由y=f（x）是（0，+∞）上的减函数，
得0＜$\frac{x-3}{4}＜\frac{1}{x}$，解得3＜x＜4．
则原不等式的解集为（3，4）．

点评 本题考查函数的单调性的证明和应用，考查赋值法和分式不等式的解法，属于中档题和易错题．