Question

10．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（Ⅰ）解方程f（x）-4=0；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a解集为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的各个范围内的不等式组，解出取并集即可；
（Ⅱ）问题转化为a＜f（x）_min，根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由$f（x）=|{2x+1}|+|{2x-3}|=\left\{\begin{array}{l}-4x+2（{x＜-\frac{1}{2}}）\\ 4（{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}）\\ 4x-2（{x＞\frac{3}{2}}）\end{array}\right.$
∴原方程等价于$\left\{\begin{array}{l}x＜-\frac{1}{2}\\-4x+2-4=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}\\ 4-4=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＞\frac{3}{2}\\ 4x-2-4=0\end{array}\right.$
解得：Φ或$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}$或Φ
即方程f（x）-4=0的解为$\left\{{\left.x\right|-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\right\}$
（Ⅱ）∵关于x的不等式f（x）≤a解集为空集，
∴a＜f（x）_min
又∵f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1|-|2x-3|=4
∴a＜4．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及转化思想，是一道中档题．