Question

15．已知函数f（x）=3sinωxcosωx-$\sqrt{3}$cos²ωx+2sin²（ωx-$\frac{π}{12}$）+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的递增区间．
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，b=$\sqrt{2}$，f（A）=1，求∠C的大小．

Answer 1

分析 （1）利用降幂公式结合辅助角公式化简，再由周期求得ω，结合复合函数的单调性求得函数的递增区间；
（2）由f（A）=1求得A，再由正弦定理求得B，则C可求．

解答 解：（1）f（x）=3sinωxcosωx-$\sqrt{3}$cos²ωx+2sin²（ωx-$\frac{π}{12}$）+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$\frac{3}{2}$sin2ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2ωx）+1-cos2（ωx-$\frac{π}{12}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{3}{2}$sin2ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx-cos（2ωx-$\frac{π}{6}$）+1=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）+1，
∵T=π，ω＞0，∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，ω=1．
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1
故递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z；
（2）∵f（A）=1，∴sin（2A-$\frac{π}{3}$）=0，
又-$\frac{π}{3}$＜2A-$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{3}$．
∴2A-$\frac{π}{3}$=0或2A-$\frac{π}{3}$=π
即A=$\frac{π}{6}$或A=$\frac{2π}{3}$．
又a＜b，∴A＜B，故A=$\frac{2π}{3}$舍去，
∴A=$\frac{π}{6}$．
由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴B=$\frac{π}{4}$或B=$\frac{3π}{4}$，
若B=$\frac{π}{4}$，则C=$\frac{7π}{12}$．
若B=$\frac{3π}{4}$，则C=$\frac{π}{12}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．