Question

14．在△ABC中，已知内角A=$\frac{π}{3}$，边BC=2$\sqrt{3}$．设内角B=x，面积为y．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（Ⅱ）求y的最大值．

Answer 1

分析 （I）由已知角A及三角形的内角和定理可求x的范围，然后由正弦定理，$AC=\frac{BC}{sinA}sinB=4sinx$，代入三角形的面积公式，即可求解；
（II）利用两角差的正弦公式及辅助角公式对（I）中的函数关系进行化简，结合正弦函数的性质即可求解取得最大值时的x即B及相应的最大值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC的内角和A+B+C=π
∵$A=\frac{π}{3}$
∴$0＜B＜\frac{2π}{3}$…（1分）
∵$AC=\frac{BC}{sinA}sinB=4sinx$…（4分）
y=$\frac{1}{2}$AB•ACsinA=4$\sqrt{3}$ sinxsin（$\frac{2π}{3}$-x）（0＜x＜$\frac{2π}{3}$）…（6分）
（II）y=4$\sqrt{3}$sinxsin（$\frac{2π}{3}$-x）=4$\sqrt{3}$sinx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx）
=6sinxcosx+2$\sqrt{3}$sin2x
=3sin2x+$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$cos2x=2$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$（-$\frac{π}{6}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$）…（8分）
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，y取得最大值3$\sqrt{3}$
∴B=$\frac{π}{3}$时，△ABC的面积最大为3$\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题综合考查了三角形的正弦定理、内角和定理及两角差的正弦公式、辅助角公式及正弦函数的性质等知识的综合应用