Question

9．对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}+2ab-1，a≤b}\\{{b}^{2}-ab，a＞b}\end{array}\right.$，设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁•x₂•x₃的取值范围是（-$\frac{1}{32}$，0）．

Answer 1

分析 由新定义，可以求出函数的解析式，进而求出x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，实数m的取值范围，及三个实根之间的关系，进而求出x₁•x₂•x₃的取值范围．

解答 解：由2x-1≤x-1，得x≤0，此时f（x）=（2x-1）*（x-1）=-（2x-1）²+2（2x-1）（x-1）-1=-2x，
由2x-1＞x-1，得x＞0，此时f（x）=（2x-1）*（x-1）=（x-1）²-（2x-1）（x-1）=-x²+x，
∴f（x）=（2x-1）⊕（x-1）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x，x≤0}\\{{-x}^{2}+x，x＞0}\end{array}\right.$，
作出函数的图象可得，

要使方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，不妨设x₁＜x₂＜x₃，
则0＜x₂＜$\frac{1}{2}$＜x₃＜1，且x₂和x₃，关于x=$\frac{1}{2}$对称，
∴x₂+x₃=2×$\frac{1}{2}$=1．则x₂+x₃≥2$\sqrt{{{x}_{2}x}_{3}}$，0＜x₂x₃＜$\frac{1}{4}$，等号取不到．
当-2x=$\frac{1}{4}$时，解得x=-$\frac{1}{8}$，
∴-$\frac{1}{8}$＜x₁＜0，
∵0＜x₂x₃＜$\frac{1}{4}$，
∴-$\frac{1}{32}$＜x₁•x₂•x₃＜0，
即x₁•x₂•x₃的取值范围是（-$\frac{1}{32}$，0），
故答案为：（-$\frac{1}{32}$，0）．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，根据已知新定义，求出函数的解析式，并分析出函数图象是解答的关键．