Question

17．已知集合A={x|（x-6）（x-2a-5）＞0}，集合B={x|[（a²+2）-x]•（2a-x）＜0}．
（Ⅰ）若a=5，求集合A∩B；
（Ⅱ）已知a＞$\frac{1}{2}$．且“x∈A”是“$\left\{{x|x=kπ+\frac{2}{3}π，k∈{Z}}\right\}$”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可；（Ⅱ）求出关于A的不等式，根据集合的包含关系求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=5时，A={x|（x-6）（x-15）＞0}={x|x＞15或x＜6}…（2分）
B={x|（27-x）（10-x）＜0}={x|10＜x＜27}．…（4分）
∴A∩B={x|15＜x＜27}．…（6分）
（Ⅱ）∵$x＞\frac{1}{2}$，∴2a+5＞6，∴A={x|x＜6或x＞2a+5}…（8分）
又a²+2＞2a，∴B={x|2a＜x＜a²+2}．…（10分）
∵“x∈A”是“$\left\{{x|x=kπ+\frac{2}{3}π，k∈{Z}}\right\}$”的必要不充分条件，∴B⊆A，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞\frac{1}{2}\\{a^2}+2≤6\end{array}\right.$，
解之得：$\frac{1}{2}＜a≤2$．   …（12分）

点评 本题考查了集合的包含关系，考查充分必要条件，是一道中档题．