Question

4．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，直线PB和平面ABCD所成的角为45°，E为PC的中点．
（I）求证：PA∥平面BED
（ II）求二面角C-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （I）连结AC，设BD与AC交于点D，连结OE，证明OE∥PA，即可证明PA∥平面BED
（ II）过O作OF⊥BE，垂足为F，连CF，由三垂线定理，得CF⊥BE，故∠OFC为二面角C-BE-D的平面角，在Rt△COF中，求二面角C-BE-D的余弦值．

解答 （I）证明：连结AC，设BD与AC交于点D，连结OE．
∴ABCD是菱形，∴O是AC的中点，
∵点E为PC的中点，∴OE∥PA．
∵OE?平面BFD，PA?平面BFD，…（2分）
∴PA∥平面BED．   …（4分）
（II）解：∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC．
由（I）知OE∥PA，∴OE⊥AC．…（5分）
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
∵OE∩BD=O，∴AC⊥平面BED． …（6分）
过O作OF⊥BE，垂足为F，连CF，由三垂线定理，得CF⊥BE，故∠OFC为二面角C-BE-D的平面角．
由∠ABC=60°知△ABC为正三角形，
∵PB和平面ABCD所成的角为∠PBA=45°
∴PA=AB，设PA=AB=a，则$OE=\frac{1}{2}a，BO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$$，BE=\sqrt{B{O^2}+O{E^2}}=a$．
在Rt△COF中，$OF=\frac{OE•BO}{BE}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}a$，$OC=\frac{1}{2}a$，$CF=\sqrt{O{C^2}+O{F^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{4}a$，
∴$cos∠OFC=\frac{OF}{CF}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$
∴二面角C-BE-D的余弦值是$\frac{\sqrt{21}}{7}$…（12分）

点评 本题考查线面平行，考查二面角C-BE-D的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．