Question

5．已知P是半径为2的球面上一点，过P点作两两垂直的三条线段PA，PB，PC，A，B，C三点均在球面上，满足PA=2PB，则P点到平面ABC的最远距离是（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{6}}{9}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{8}{7}$
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 过点P作PH⊥平面ABC，设PA=a，PB=b，PC=c，PH=h，结合a=2b，可得5b²+c²=16，由$\frac{1}{P{H}^{2}}$=$\frac{1}{P{A}^{2}}$+$\frac{1}{P{B}^{2}}$+$\frac{1}{P{C}^{2}}$，利用基本不等式可得：$\frac{1}{{h}^{2}}$=（$\frac{5}{4{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$）（$\frac{5{b}^{2}}{16}$+$\frac{{c}^{2}}{16}$）=$\frac{29}{64}$+$\frac{5}{16}$（$\frac{{c}^{2}}{4{b}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$）≥$\frac{49}{64}$，从而可求P点到平面ABC的最远距离．

解答 解：点P，A，B，C在同一球面上，且线段PA，PB，PC两两垂直，PA=2PB，则PA，PB，PC可看做长方体的一个顶点出发的三条棱，过空间四点P，A，B，C的球面即为长方体的外接球，
过点P作PH⊥平面ABC，设PA=a，PB=b，PC=c，PH=h，
则16=a²+b²+c²，
又∵a=2b，
∴5b²+c²=16，
又∵$\frac{1}{P{H}^{2}}$=$\frac{1}{P{A}^{2}}$+$\frac{1}{P{B}^{2}}$+$\frac{1}{P{C}^{2}}$，可得：$\frac{1}{{h}^{2}}$=$\frac{5}{4{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{h}^{2}}$=（$\frac{5}{4{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$）（$\frac{5{b}^{2}}{16}$+$\frac{{c}^{2}}{16}$）=$\frac{29}{64}$+$\frac{5}{16}$（$\frac{{c}^{2}}{4{b}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$）≥$\frac{49}{64}$，当且仅当c=$\sqrt{2}b$时等号成立，
∴h≤$\frac{8}{7}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了球的性质及基本不等式的解法的综合应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，技巧性强，属于难题．