Question

10．已知a为正实数，函数f（x）=ax²-a²x-$\frac{1}{a}$的图象与x轴交于A，B两点，且A在B的左边．
（1）解关于x不等式f（x）＞f（1）；
（2）求AB的最小值；
（3）如果a∈[1，2$\sqrt{2}$]，求OA的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞f（1）可化为：ax²-a²x+a²-a＞0（a＞0）；对a值进行分类讨论，可得不等式的解集，
（2）由函数f（x）的图象与x轴交于A，B两点，可得AB=$\frac{\sqrt{△}}{|a|}$=$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4}}{a}$，利用基本不等式可得AB的最小值，
（3）求出OA=-$\frac{{a}^{2}-\sqrt{{a}^{4}+4}}{2a}$=$\frac{2}{{a}^{3}+a\sqrt{{a}^{2}+4}}$，即可得出结论．

解答 解：（1）关于x不等式f（x）＞f（1），即 ax²-a²x-$\frac{1}{a}$＞a-a²-$\frac{1}{a}$，即 （x-1）[x-（a-1）]＞0．
a＞2时，不等式的解集为（-∞，1）∪（ a-1，+∞）；
当a=2时，不等式的解集为（-∞，1）∪（ 1，+∞）；
a＜2时，不等式的解集为（-∞，1-a）∪（ 1，+∞）．
（2）∵函数f（x）的图象与x轴交于A，B两点，
∴AB=$\frac{\sqrt{△}}{|a|}$=$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4}}{a}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{4}{{a}^{2}}}$≥$\sqrt{2\sqrt{{a}^{2}•\frac{4}{{a}^{2}}}}$=2，当且仅当a=$\sqrt{2}$时取等号，
故AB的最小值为2．
（3）∵函数f（x）=ax²-a²x-$\frac{1}{a}$的图象与x轴交于A，B两点，
故A，B两点坐标为（$\frac{{a}^{2}±\sqrt{{a}^{4}+4}}{2a}$，0），
∴OA=-$\frac{{a}^{2}-\sqrt{{a}^{4}+4}}{2a}$=$\frac{2}{{a}^{3}+a\sqrt{{a}^{2}+4}}$，
∵a∈[1，2$\sqrt{2}$]，函数单调递减，
∴OA的取值范围是[$\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{6}}{52}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$]．

点评 本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，二次函数，基本不等式，判断三角形的形状，综合性强，属于难题．