Question

2．规定A${\;}_{x}^{m}$=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且A${\;}_{x}^{0}$=1，这是排列数A${\;}_{n}^{m}$（n，m是正整数，n≤m）的一种推广．
（Ⅰ） 求A${\;}_{-9}^{3}$的值；
（Ⅱ）排列数的两个性质：①A${\;}_{n}^{m}$=nA${\;}_{n-1}^{m-1}$，②A${\;}_{n}^{m}$+mA${\;}_{n}^{m-1}$=A${\;}_{n+1}^{m}$（其中m，n是正整数）．是否都能推广到A${\;}_{x}^{m}$（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（Ⅲ）已知函数f（x）=aA${\;}_{x}^{2}$+xlnx+ax，若f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求证：f（x₂）＞f（x₁）＞-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入求值即可；
（Ⅱ）两个式子都能够推广，分别证明两个性质是成立的，当n=1时，验证式子左右两边相等，当n不小于2时根据推广的排列数公式证明，得到结论成立；
（Ⅲ）求出f（x）的解析式，得到f′（x） 变化，求得f（x）的增区间，通过导数，判断x₁∈（0，1），设h（x）=$\frac{1}{2}$（xlnx-x）（0＜x＜1），求得h（x）的单调性，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）A${\;}_{-9}^{3}$=-9×（-10）×（-11）=-990；
（Ⅱ）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
①${A}_{x}^{m}$=x${A}_{x-1}^{m-1}$，②${A}_{x}^{m}$+m${A}_{x}^{m-1}$=${A}_{x+1}^{m}$（x∈R，m∈N^*）；
事实上，在①中，当m=1时，左边=A_x¹=x，右边=xA_x-1⁰=x，等式成立；
当m≥2时，左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）
=x[（x-1）（x-2）（（x-1）-（m-1）+1）]=xA_x-1^m-1，
因此，①A_x^m=xA_x-1^m-1成立；
在②中，当m=1时，左边=A_x¹+A_x⁰=x+1=A_x+1¹=右边，等式成立；
当m≥2时，
左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）+mx（x-1）（x-2）（x-m+2）
=x（x-1）（x-2）（x-m+2）[（x-m+1）+m]=（x+1）x（x-1）（x-2）[（x+1）-m+1]=A_x+1^m=右边，
因此②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）成立．
（Ⅲ）由题意得：f（x）=xlnx+ax²，
依题意：f′（x）=lnx+1+2ax=0有两个不等实根x₁，x₂（x₁＜x₂），
f（x），f′（x） 变化如下：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘		↗		↘

由表可知：f（x） 在[x₁，x₂]上为增函数，所以：f（x₂）＞f（x₁）              
又f′（1）=g（1）=1+2a＞0，故x₁∈（0，1），
由（1）知：ax₁=$\frac{-1-l{nx}_{1}}{2}$，f（x₁）=x₁lnx₁+ax₁²=$\frac{1}{2}$（x₁lnx₁-x₁）（0＜x₁＜1）
设h（x）=$\frac{1}{2}$（xlnx-x）（0＜x＜1），则h′（x）=$\frac{1}{2}$lnx＜0成立，所以h（x）单调递减，
故：h（x）＞h（1）=-$\frac{1}{2}$，也就是f（x₁）＞-$\frac{1}{2}$综上所证：f（x₂）＞f（x₁）＞-$\frac{1}{2}$成立．

点评 本题考查组合数和排列数的公式的推广，考查排列数和组合数的性质在推广以后是否适用，考查利用排列数和组合数的公式求解题的数值，考查函数的单调区间的求法，本题是一个综合题目，也是一个易错题．