Question

12．设f（x）=ln（x+1）．
（Ⅰ）求满足f（1-2x）＞f（x）的x的取值集合A；
（Ⅱ）设集合B={x|a-1＜x＜2a²}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，解关于a的不等式，求出a的范围取并集即可．

解答 解：（Ⅰ）由ln（2-2x）＞ln（x+1），得：$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{2-2x＞x+1}\end{array}\right.$，
解得：-1＜x＜$\frac{1}{3}$，故A=（-1，$\frac{1}{3}$）；
（Ⅱ）若A∩B≠∅，则2a²＞a-1，解得：a＞1或a＜-$\frac{1}{2}$，
a＞1时，a-1＞0，2a²＞2，故a-1＜$\frac{1}{3}$，1＜a＜$\frac{4}{3}$，
a＜-$\frac{1}{2}$时，a-1＜-$\frac{3}{2}$＜-1，2a²＞$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{3}$，
此时A?B，A∩B=A，
综上，a的范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（1，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查了对数函数的性质，考查集合的运算以及解不等式，分类讨论思想，是一道中档题．