Question

4．在平面直角坐标系中内动点P（x，y）到圆F：x²+（y-1）²=1的圆心F的距离比它到直线y=-2的距离小1．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为曲线E，过点F的直线l的斜率为k，直线l交曲线E于A，B两点，交圆F于C，D两点（A，C两点相邻）．
①若$\overrightarrow{BF}$=t$\overrightarrow{FA}$，当t∈[1，2]时，求k的取值范围；
②过A，B两点分别作曲线E的切线l₁，l₂，两切线交于点N，求△ACN与△BDN面积之积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1，可得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=-1的距离，利用抛物线的定义，即可求动点P的轨迹W的方程；
（Ⅱ）①由题意知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线得x²-4kx-4=0，利用条件，结合韦达定理，可得t+$\frac{1}{t}$=4k²+2，利用函数的单调性，即可求k的取值范围；
②求出直线AN，BN的方程，表示出面积，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1，
∴动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=-1的距离，
∴动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点的抛物线，其方程为x²=4y；
（2）①由题意知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线得x²-4kx-4=0，
设（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∵$\overrightarrow{BF}$=t$\overrightarrow{FA}$，∴t=-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-t-$\frac{1}{t}$+2=-4k²，
∴t+$\frac{1}{t}$=4k²+2
∵f（t）=t+$\frac{1}{t}$在[1，2]上单调递增，∴2≤t+$\frac{1}{t}$$≤\frac{5}{2}$，
∴$-\frac{\sqrt{2}}{4}≤k≤\frac{\sqrt{2}}{4}$；
②y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，y′=$\frac{1}{2}x$，
∴直线AN：y-$\frac{1}{4}$x₁²=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），BN：y-$\frac{1}{4}$x₂²=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₂），
两式相减整理可得x=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=2k，
∴N（2k，-1），N到直线AB的距离d=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
∵|AC|=|AF|-1=y₁，|BD|=|BF|-1=y₂，
∴|AC||BD|=1
∴△ACN与△BDN面积之积=$\frac{1}{2}|AC|d•\frac{1}{2}|BD|d$=$\frac{1}{4}{d}^{2}$=1+k²，
当且仅当k=0时，△ACN与△BDN面积之积的最小值为0．

点评 本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．