Question

13．已知函数f（x）=ax-sinx在区间（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上有且仅有一个零点，则a的取值范围是（　　）

• A． a≥1
• B． a≥1或a≤$\frac{2}{π}$
• C． a＞1或a≤0
• D． a$＜\frac{2}{π}$

Answer 1

分析 若y=f（x）仅有一个零点，则函数y=sinx的图象与y=ax的图象有且仅有一个交点，画出函数的图象，数形结合，可得答案．

解答 解：令y=sinx，
则y′=cosx，
当x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）时，y′＞0，y=sinx为增函数，
故y=sinx的图象如下图所示：
当x=-$\frac{π}{2}$时，y=-1，当x=$\frac{π}{2}$时，y=1，
此时a=$\frac{2}{π}$，
当x=0时，y′=1，
若y=f（x）仅有一个零点，
则函数y=sinx的图象与y=ax的图象有且仅有一个交点，

由图可得：a≥1或a≤$\frac{2}{π}$，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的零点与函数图象交点的关系，难度中档．