椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别是F1.F2.右顶点为A.上顶点为B.坐标系原点O到直线AB的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$.椭圆的离心率是$\frac{1}{2}$．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)如果动直线l:y=kx+n与椭圆C有且只有一个公共点.点F1.F2在直线l上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

8．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，坐标系原点O到直线AB的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，椭圆的离心率是$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如果动直线l：y=kx+n与椭圆C有且只有一个公共点，点F₁，F₂在直线l上的正投影分别是P，Q，求四边形F₁PQF₂面积S的取值范围．

分析（Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，即a²=2b²．根据三角形OAB面积相等：$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{21}}{7}$•$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，代入即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由△=0，4k²-n²+3=0，由F₁P⊥l，F₂Q⊥l，直角梯形F₁PQF₂中位线长d₁=$\frac{丨n丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，点F₂（1，0）直线F₁P的距离d₂=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，${S}_{{F}_{1}PQ{F}_{2}}$=d₁•d₂=$\frac{2丨n丨}{1+{k}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$，则根据函数的单调性，即可求得四边形F₁PQF₂面积S的取值范围．

解答解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，即a²=2b²．
由坐标系原点O到直线AB的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
则$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{21}}{7}$•$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$$\sqrt{{a}^{2}+\frac{3}{4}{a}^{2}}$，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由直线l与椭圆仅有一个公共点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8knx=4n²-12=0，
由△=0，4k²-n²+3=0，
由F₁P⊥l，F₂Q⊥l，
当①k≠0，在直角梯形F₁PQF₂中位线长d₁=$\frac{丨n丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
直线F₁P的方程为：x+ky+1=0，
点F₂（1，0）直线F₁P的距离d₂=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
${S}_{{F}_{1}PQ{F}_{2}}$=d₁•d₂=$\frac{2丨n丨}{1+{k}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$，
令t=3+4k²，
∴S=8$\frac{t}{2{t}^{2}+2t+1}$=8$\sqrt{\frac{1}{t+\frac{1}{t}+2}}$，
友t＞3，由双勾函数知S在t＞3上单调递减，
∴0＜S＜2$\sqrt{3}$，
②当k=0时，n=±$\sqrt{3}$，S=2$\sqrt{3}$，
综上所述：四边形F₁PQF₂面积S取值范围为（0，2$\sqrt{3}$]．

点评本题考查椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，双勾函数的单调性的应用，考查计算能力，属于中档题．

练习册系列答案

寒假新生活系列答案

寒假集训合肥工业大学出版社系列答案

寒假作业沈阳出版社系列答案

快乐天天练假期作业寒安徽师范大学出版社系列答案

走进寒假假期快乐练电子科技大学出版社系列答案

学习报快乐寒假系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

18．?x∈[1，3]使a+x+$\frac{1}{x}$＞0，则a的取值范围为（-$\frac{10}{3}$，+∞）．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

19．（1）设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z是纯虚数，求z．
（2）已知m＞0，a，b∈R，求证：（$\frac{a+mb}{1+m}$）²≤$\frac{{a}^{2}+m{b}^{2}}{1+m}$．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y²=4x的焦点到其准线的距离为2．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

3．已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），直线l的极坐标方程是ρ（cosθ+2sinθ）=15．若点P、Q分别是曲线C和直线l上的动点，则P、Q两点之间距离的最小值是（　　）

A．

$\sqrt{10}$

B．

2$\sqrt{3}$

C．

2$\sqrt{5}$

D．

$\sqrt{21}$

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

13．已知函数f（x）=ax-sinx在区间（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上有且仅有一个零点，则a的取值范围是（　　）

A．

a≥1

B．

a≥1或a≤$\frac{2}{π}$

C．

a＞1或a≤0

D．

a$＜\frac{2}{π}$

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

20．如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；…，如此下去．记第n次操作中挖去的三角形个数为a_n．如a₁=1，a₂=3．