Question

18．?x∈[1，3]使a+x+$\frac{1}{x}$＞0，则a的取值范围为（-$\frac{10}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 问题转化为：?x∈[1，3]，使a≥-（x+$\frac{1}{x}$）_min，设g（x）=-（x+$\frac{1}{x}$）≤-2，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：若“?x∈[1，3]，使x+$\frac{1}{x}$+a＞0”成立，
则等价为“?x∈[1，3]，使a＞-（x+$\frac{1}{x}$）_min，
设g（x）=-（x+$\frac{1}{x}$）≤-2，
而g（1）=-2，g（3）=-$\frac{10}{3}$，
∴-$\frac{10}{3}$≤g（x）≤-2，
∴a＞-$\frac{10}{3}$，
故答案为：（-$\frac{10}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．