Question

10．已知圆C与y轴相切，圆心C在直线2x-y=0上，且被直线l：x-y+4=0分成两段圆弧，其弧长的比为3﹕1．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）若以点D（-1，0）为圆心的圆D与圆C相交所得的弦长为$2\sqrt{3}$，求圆D的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知设圆心坐标C（a，2a），则圆的方程为（x-a）²+（y-2a）²=a²，设直线l与圆C交于点A，B，则∠ACB=90°，由此能出圆C的标准方程．
（Ⅱ）设以点D（-1，0）为圆心的圆D与圆C相交所得的弦MN的长为2$\sqrt{3}$，连结CD，交MN于点P，则MP=PN=$\sqrt{3}$，求出CP=1，|CD|=5，从而PD=5-1=4，由此能求出圆D的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知设圆心坐标C（a，2a），
则圆的方程为（x-a）²+（y-2a）²=a²，
∵圆C被直线l：x-y+4=0分成两段圆弧，
其弧长的比为3﹕1，
设直线l与圆C交于点A，B，则∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}|a|$，
∴圆心C（a，2a0到直线AB的距离d=$\frac{|a-2a+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|a|，
解得a=2，
∴圆C的标准方程为（x-2）²+（y-4）²=4．
（Ⅱ）设以点D（-1，0）为圆心的圆D与圆C相交所得的弦MN的长为2$\sqrt{3}$，
连结CD，交MN于点P，则MP=PN=$\sqrt{3}$，
CP=$\sqrt{4-3}$=1，|CD|=$\sqrt{（2+1）^{2}+{4}^{2}}$=5，∴PD=5-1=4，
设圆D的半径为R，
则R=$\sqrt{P{M}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{3+16}$=$\sqrt{19}$，
∴圆D的方程为（x+1）²+y²=19．

点评 本题考查圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．