Question

1．已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_2}（x+1），{\;}_{\;}x∈[0，1]\\|x-3|-1，{\;}_{\;}x∈（1，+∞）\end{array}$，则关于x的方程f（x）=a，（0＜a＜1）的所有根之和为（　　）

• A． 2^a-1
• B． 2^a+1
• C． 1-2^-a
• D． 1+2^-a

Answer 1

分析 根据已知画出函数f（x）的图象，根据函数的对称性，结合指数和对数的运算性质，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_2}（x+1），{\;}_{\;}x∈[0，1]\\|x-3|-1，{\;}_{\;}x∈（1，+∞）\end{array}$，
故函数f（x）的图象如下图所示：

故关于x的方程f（x）=a，（0＜a＜1）共有5个根：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
则x₁+x₂+x₄+x₅=0，x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=x₃，
由log₂（x₃+1）=a得：x₃=2^a-1，
故关于x的方程f（x）=a，（0＜a＜1）的所有根之和为2^a-1，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象，数形结合思想，难度中档．