Question

11．已知直线l交抛物线y²=-3x于A、B两点，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=4（O是坐标原点），设l与x轴的非正半轴交于点F，F、F′分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点．若在双曲线的右支上存在一点P，使得2|$\overrightarrow{PF}$|=3|$\overrightarrow{PF'}$|，则a的取值范围是[$\frac{4}{5}$，4）．

Answer 1

分析 确定F的坐标，由双曲线的定义，再根据点P在双曲线的右支上，可得|PF₂|≥c-a，从而a的取值范围．

解答 解：设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
设直线方程为x=my+n，
联立方程，消去x得y²+3my+3n=0，
则y₁y₂=3n，x₁x₂=n²，
又$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=4，则x₁x₂+y₁y₂=4，
即3n+n²=4，
解得n=1（舍去）或n=-4，
∴F（-4，0），
∵2|$\overrightarrow{PF}$|=3|$\overrightarrow{PF'}$|，
∴由双曲线的定义可得|$\overrightarrow{PF}$|-|$\overrightarrow{PF'}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{PF'}$|=2a，
∴|$\overrightarrow{PF'}$|=4a，
∵点P在双曲线的右支上，
∴|PF′|≥c-a，
∴4a≥c-a，∴a≥$\frac{4}{5}$，
∵$\frac{c}{a}$＞1，∴a＜4，
∴a的取值范围是[$\frac{4}{5}$，4），
故答案为[$\frac{4}{5}$，4）．

点评 本题考查向量数量积的运用，同时考查直线与抛物线的位置关系，以及证明直线恒过定点，双曲线的简单性质的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．