如图是一个面积为1的三角形.现进行如下操作．第一次操作:分别连结这个三角形三边的中点.构成4个三角形.挖去中间一个三角形.并在挖去的三角形上贴上数字标签“1 ,第二次操作:连结剩余的三个三角形三边的中点.再挖去各自中间的三角形.同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2 ,第三次操作:连结剩余的各三角形三边的中点.再挖去各自中间的三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；…，如此下去．记第n次操作中挖去的三角形个数为a_n．如a₁=1，a₂=3．

（1）求a_n；
（2）求第n次操作后，挖去的所有三角形面积之和P_n？
（3）求第n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Q_n．

分析（1）由题意知，数列{a_n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，进而可得a_n；
（2）记第n次操作中挖去的一个三角形面积为b_n，则{b_n}是以$\frac{1}{4}$为首项，以$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，进而可得第n次操作后，挖去的所有三角形面积之和P_n；
（3）由题意知，第n次操作中挖去的所有三角形上所贴标签上的数字之和为n•3^n-1，利用错位相减法，可得挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Q_n．

解答解：（1）由题意知，数列{a_n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
所以a_n=3^n-1．----------------------------------------（3分）
（2）记第n次操作中挖去的一个三角形面积为b_n，
则{b_n}是以$\frac{1}{4}$为首项，以$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，所以b_n=$\frac{1}{{4}^{n}}$，
故第n次操作中挖去的所有三角形面积为3^n-1-$\frac{1}{{4}^{n}}$=$\frac{1}{4}（\frac{3}{4}）^{n-1}$，-----------------------（6分）
从而第n次操作后挖去的所有三角形面积之和P_n=$\frac{\frac{1}{4}[1-（\frac{3}{4}）^{n}]}{1-\frac{3}{4}}$=$1-{（\frac{3}{4}）}^{n}$．-----------（8分）
（3）由题意知，第n次操作中挖去的所有三角形上所贴标签上的数字之和为n•3^n-1，-----（9分）
所以所有三角形上所贴标签上的数字的和Q_n=1×1+2×3+…+n•3^n-1，①
则3Q_n=1×3+2×3²+…+n•3ⁿ，②
①-②得，-2Q_n=1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ=$\frac{{3}^{n}-1}{2}-n•{3}^{n}$，-----------------------------（13分）
故Q_n=$\frac{2n-1}{4}•{3}^{n}+\frac{1}{4}$．---------------------------（16分）

点评考查的知识点是等比数列的通项公式，前n项和公式，数列求和，难度中档．

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