Question

12．学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分，规定满意度不低于98分，则评价该教师为“优秀”，现从某班学生中随机抽取10名，如图茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；
（3）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）直接利用茎叶图，写出这组数据的众数和中位数；
（2）设A₁表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A，然后求概率；
（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，求出概率，写出分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（1）众数：87；   中位数：88.5
（2）设A₁表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A，则$P（A）=P（{A_0}）+P（{A_1}）=\frac{C_7^3}{{C_{10}^3}}+\frac{C_3^1C_7^2}{{C_{10}^3}}=\frac{98}{120}=\frac{49}{60}$；
（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，$P（ξ=0）={（\frac{7}{10}）^3}=\frac{343}{1000}$；$P（ξ=1）=C_3^1\frac{3}{10}{（\frac{7}{10}）^2}=\frac{441}{1000}$；$P（ξ=2）=C_3^2{（\frac{3}{10}）^2}\frac{7}{10}=\frac{189}{1000}$；$P（ξ=3）={（\frac{3}{10}）^3}=\frac{27}{1000}$；
分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{343}{1000}$	$\frac{441}{1000}$	$\frac{189}{1000}$	$\frac{27}{1000}$

$Eξ=0×\frac{343}{1000}+1×\frac{441}{1000}+2×\frac{189}{1000}+3×\frac{27}{1000}=0.9$．
注：用二项分布直接求解也可以．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，茎叶图的应用，考查分析问题解决问题的能力．