Question

7．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）-e^x]=e+1（e是自然对数的底数），则方程f（x）-x-2=0的解的个数为（　　）个．

• A． 1
• B． 0
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 利用换元法 将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．

解答 解：设t=f（x）-e^x，
则f（x）=e^x+t，则条件等价为f（t）=e+1，
令x=t，则f（t）=e^t+t=e+1，
∵函数f（x）为单调递增函数，
∴函数为一对一函数，解得t=1，
∴f（x）=e^x+1，
故f（x）-x-2=0，即e^x+1-x-2=0，解得：x=0，
故选：A．

点评 本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．