Question

18．已知函数f（x）=lnx-a²x²+ax（a∈R）在区间（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 要使函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，我们可以转化为f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立的问题来求解，然后利用二次函数的单调区间于对称轴的关系来解答也可达到目标．

解答 解：∵f（x）=lnx-a²x²+ax（a∈R），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-2a²x+a=$\frac{-2{a}^{2}{x}^{2}+ax+1}{x}$，
由f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，可得-2a²x²+ax+1≤0在区间（1，+∞）上恒成立
①当a=0时，1≤0不合题意，
②当a≠0时，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4a}＜1}\\{-2{a}^{2}+a+1≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{4}或a＜0}\\{-2{a}^{2}+a+1≤0}\end{array}\right.$，
解得a≤-$\frac{1}{2}$或a≥1，
故a的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞），
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）

点评 本题以函数为载体，综合考查利用函数的导数来解决有关函数的单调性，考查已知函数的单调性的条件下怎样求解参数的范围问题，考查分类讨论，函数与方程，等数学思想与方法．